Използване на общи методи за разпределение на вероятността за запаси

Почти независимо от вашето мнение за предсказуемостта или ефективността на пазарите, вероятно ще се съгласите, че за повечето активи гарантираната възвръщаемост е несигурна или рискова. Ако пренебрегнем математиката, която е в основата на разпределението на вероятностите, можем да видим, че те са снимки, които описват конкретен поглед на несигурността. Разпределението на вероятността е статистическо изчисление, което описва вероятността дадена променлива да попадне между или в рамките на определен диапазон на диаграмата на графиката.

Несигурността се отнася до случайността. Тя е различна от липсата на предвидимост или неефективността на пазара. Появилото се ново проучване е на мнение, че финансовите пазари са както несигурни, така и предвидими. Също така пазарите могат да бъдат ефективни, но и несигурни.

Във финансите използваме разпределения на вероятностите, за да рисуваме картини, които илюстрират нашето виждане за чувствителността на възвръщаемостта на активите, когато мислим, че възвръщаемостта на активите може да се счита за случайна променлива. В тази статия ще разгледаме няколко от най-популярните разпределения на вероятностите и ще ви покажем как да ги изчислите.

Разпределенията могат да бъдат категоризирани като дискретни или непрекъснати и по въпроса дали това е функция на плътността на вероятностите (PDF) или кумулативно разпределение.

Дискретни спрямо непрекъснати разпределения

Дискретна се отнася до случайна променлива, извлечена от ограничен набор от възможни резултати. Шестстранната умира например има шест дискретни резултата. Непрекъснатото разпределение се отнася до произволна променлива, изведена от безкраен набор. Примерите за непрекъснати случайни променливи включват скорост, разстояние и някои доходи на активи. Дискретната случайна променлива се илюстрира обикновено с точки или тирета, докато непрекъснатата променлива е илюстрирана с плътна линия. Фигура 1 показва дискретни и непрекъснати разпределения за нормално разпределение със средна (очаквана стойност) 50 и стандартно отклонение от 10:

Фигура 1

Разпределението е опит за очертаване на несигурност. В този случай резултатът от 50 е най-вероятен, но само ще се случи около 4% от времето; резултат от 40 е едно стандартно отклонение под средната стойност и то ще се появи малко под 2, 5% от времето.

Вероятност плътност спрямо кумулативно разпределение

Другото разграничение е между функцията за плътност на вероятностите (PDF) и функцията за кумулативно разпределение. PDF е вероятността нашата случайна променлива да достигне определена стойност (или в случай на непрекъсната променлива, да попадне между интервал). Показваме, че като посочваме вероятността случайна променлива X да е равна на действителна стойност x:

P [x = X] \ начало {подравнено} & P [x = X] \\ \ край {подравнено} P [x = X]

Кумулативното разпределение е вероятността случайната променлива X да бъде по-малка или равна на действителната стойност x:

P [x <= X] \ начало {подравнено} & P [x <= X] \\ \ край {подравнено} P [x <= X]

или например, ако вашата височина е произволна променлива с очаквана стойност 5'10 "инча (средната височина на вашите родители), тогава PDF въпроса е:" Каква е вероятността да достигнете височина 5'4 "" >

Фигура 1 показва две нормални разпределения. Вече можете да видите, че това са графики на плътността на вероятностите (PDF). Ако пренастроим точно същото разпределение като кумулативно разпределение, ще получим следното:

Фигура 2

Кумулативното разпределение трябва в крайна сметка да достигне 1, 0 или 100% по оста y. Ако вдигнем лентата достатъчно високо, в един момент практически всички резултати ще попаднат под нея (можем да кажем, че разпределението обикновено е асимптотично до 1, 0).

Финансите, социална наука, не са толкова чисти, колкото физическите науки. Гравитацията например има елегантна формула, от която можем да зависим от време и отново. От друга страна, възвръщаемостта на финансовите активи не може да се възпроизвежда толкова последователно. Поразителна сума пари е загубена през годините от умни хора, объркали точните разпределения (т.е., сякаш произлизащи от физическите науки) с разхвърляните, ненадеждни приближения, които се опитват да изобразят финансова възвръщаемост. Във финансите вероятностните разпределения са малко повече от грубите изобразителни представи.

Равномерно разпределение

Най-простото и най-популярно разпределение е равномерното разпределение, при което всички резултати имат еднакъв шанс да се появят. Шестостранната матрица има равномерно разпределение. Всеки резултат има вероятност от около 16.67% (1/6). Нашият сюжет по-долу показва плътната линия (за да можете да го видите по-добре), но имайте предвид, че това е дискретно разпределение - не можете да превъртите 2.5 или 2.11:

Фигура 3

Сега разточете две зарчета заедно, както е показано на фигура 4, и разпределението вече не е равномерно. Той достига пик в седем, което има 16, 67% шанс. В този случай всички останали резултати са по-малко вероятни:

Фигура 4

Сега разточете три зарчета заедно, както е показано на фигура 5. Започваме да виждаме ефектите на най-невероятната теорема: теоремата за централната граница. Централната гранична теорема смело обещава, че сумата или средната стойност от поредица от независими променливи ще имат тенденцията да станат нормално разпределени, независимо от тяхното собствено разпределение . Нашите зарчета са индивидуално равномерни, но ги комбинираме и - като добавим още зарчета - почти магически тяхната сума ще е насочена към познатото нормално разпределение.

Фигура 5

Биномиално разпределение

Биномиалното разпределение отразява поредица от "едно / или" изпитания, като серия от хвърляне на монети. Те се наричат ​​изпитания на Бернули - които се отнасят до събития, които имат само два резултата - но не се нуждаете от равностойни коефициенти (50/50). Биномиалното разпределение по-долу изброява серия от 10 хвърляния на монети, при които вероятността за глави е 50% (р-0, 5). На фигура 6 можете да видите, че шансът да прелистите точно пет глави и пет опашки (редът няма значение) е просто срамежлив от 25%:

Фигура 6

Ако биномиалното разпределение ви изглежда нормално, вие сте прав за това. С увеличаването на броя на изпитванията биномиалът се стреми към нормалното разпределение.

Лонормално разпределение

Лонормалното разпределение е много важно за финансите, тъй като много от най-популярните модели приемат, че цените на акциите се разпределят ненормално. Лесно е да объркате възвръщаемостта на активите с нивата на цените.

Възвръщаемостта на активите често се третира като нормална - запасите могат да се повишат с 10% или надолу с 10%. Нивата на цените често се третират като ненормални - акциите от 10 долара могат да стигнат до 30 долара, но не могат да се спуснат до - 10 долара. Лонормалното разпределение е не нулево и е наклонено надясно (отново запасът не може да падне под нулата, но няма теоретичен превес):

Фигура 7

Поасон

Разпределението на Poisson се използва за описване на шансовете за определено събитие (например, дневна загуба на портфейл под 5%), настъпваща за определен интервал от време. Така че, в примера по-долу, ние приемаме, че някои операционни процеси имат степен на грешка от 3%. Освен това приемаме 100 случайни проучвания; разпределението на Poisson описва вероятността от получаване на определен брой грешки за определен период от време, например за един ден.

Фигура 8

Студентска Т

Т-разпределението на ученика също е много популярно, тъй като има леко "по-дебела опашка" от нормалното разпределение. T на студента се използва обикновено, когато размерът на извадката ни е малък (т.е. по-малък от 30). Във финансите лявата опашка представлява загубите. Следователно, ако размерът на извадката е малък, смеем да подценяваме шансовете за голяма загуба. По-дебелата опашка на Т на студента ще ни помогне тук. Въпреки това, случва се, че мастната опашка на това разпределение често не е достатъчно дебела. Финансовата възвръщаемост има тенденция да показва, при редки катастрофални случаи, наистина загуби от мазнини на опашката (т.е. по-мазни от предвидените от разпределенията). Големи суми пари са загубени, което прави това.

Фигура 9

Бета разпределение

И накрая, бета разпределението (да не се бърка с бета параметъра в модела за ценообразуване на капиталови активи) е популярно при модели, които оценяват процентите на възстановяване на облигационните портфейли. Бета разпределението е полезният плейър на дистрибуциите. Подобно на нормалното, той се нуждае от само два параметъра (алфа и бета), но те могат да бъдат комбинирани за забележителна гъвкавост. Четири възможни бета разпределения са илюстрирани на фигура 10 по-долу:

Фигура 10

Долния ред

Подобно на толкова много обувки в нашия статистически шкаф за обувки, ние се опитваме да изберем най-подходящото за случая, но всъщност не знаем какво ни носи времето. Може да изберем нормално разпределение, след което да разберем, че са подценени загубите от лявата опашка; така че преминаваме към изкривена дистрибуция, само за да намерим данните да изглеждат по-"нормални" в следващия период. Елегантната математика отдолу може да ви съблазни в мисленето, че тези разпределения разкриват по-дълбока истина, но е по-вероятно те да са просто човешки артефакти. Например, всички дистрибуции, които разгледахме, са доста плавни, но някои възвръщаемост на активите скачат прекъснато.

Нормалното разпределение е вездесъщо и елегантно и изисква само два параметъра (средно и разпределение). Много други разпределения се сближават към нормалните (напр. Биномиални и Поасонови). Въпреки това, много ситуации, като възвръщаемост на хедж фондовете, кредитни портфейли и тежки загуби, не заслужават нормалните разпределения.