Изчисляване на настоящата и бъдещата стойност на ануитетите

В даден момент от живота си може да се наложи да извършите поредица от фиксирани плащания за определен период от време - като наем или плащания с кола - или сте получили поредица от плащания за определен период от време, като лихва от облигации или CD-та. Те се наричат ​​анюитети (по-обща употреба на думата - да не се бърка с конкретния финансов продукт, наречен анюитет, въпреки че двете са свързани). Ако разбирате стойността на парите във времето, вие сте готови да научите за анюитетите и как се изчисляват техните настоящи и бъдещи стойности.

Какво представляват ануитетите?

Ануитетите са по същество поредица от фиксирани плащания, изисквани от вас или платени на вас, с определена честота в течение на определен период от време. Честотите на плащане могат да бъдат годишни, полугодишни (два пъти годишно), тримесечни и месечни. Има два основни вида анюитети: обикновени анюитети и дължими анюитети.

• Обикновена рента: Плащанията се изискват в края на всеки период. Например, правите облигации обикновено извършват купонни плащания в края на всеки шест месеца до падежа на облигацията.
• Дължима анюитет: Плащанията се изискват в началото на всеки период. Наемът е пример за дължима рента. Обикновено се изисква да плащате наем, когато първо се премествате в началото на месеца, а след това на първия на всеки месец след това.

Тъй като настоящите и бъдещите изчисления на стойността за обикновените анюитети и дължимите анюитети са малко различни, ще ги обсъдим отделно.

Обикновени годишнини

Изчисляване на бъдещата стойност

Ако знаете колко можете да инвестирате за период за определен период от време, бъдещата стойност (FV) на обикновена формула за анюитет е полезна, за да разберете колко бихте имали в бъдеще. Ако извършвате плащания по заем, бъдещата стойност е полезна при определяне на общата цена на заема. Ако знаете колко планирате да инвестирате всяка година и фиксираната норма на възвръщаемост на вашите анюитетни гаранции - или, за заеми, размера на вашите плащания и дадения лихвен процент - лесно можете да определите стойността на акаунта си във всеки един момент от бъдещето.

Нека сега разгледаме пример 1. Помислете следния график на анюитетния паричен поток:

За да изчислим бъдещата стойност на рентата, трябва да изчислим бъдещата стойност на всеки паричен поток. Нека приемем, че получавате 1000 долара всяка година през следващите пет години и инвестирате всяко плащане под 5% лихва. Следващата диаграма показва колко бихте имали в края на петгодишния период:

Тъй като трябва да добавим бъдещата стойност на всяко плащане, може би сте забелязали, че ако имате обикновена рента с много парични потоци, ще отнеме много време да изчислите всички бъдещи стойности и след това да ги добавите заедно. За щастие математиката предоставя формула, която служи за пряк път за намиране на натрупаната стойност на всички парични потоци, получени от обикновена рента:

FVOединарна ануитетност = C × [(1 + i) n − 1i] където: C = Паричен поток за периоди = Лихвен процент = Брой плащания \ Започнете {подравнено} & \ текст {FV} _ {\ текст {Обикновено ~ Ануитет }} = \ текст {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {където:} \\ & \ текст {C} = \ текст {Паричен поток за период} \\ & i = \ текст {Лихвен процент} \\ & n = \ текст {Брой плащания} \\ \ край {подравнен} FVOредовен ануитет = C × [i (1 + i) n − 1] където: C = Паричен поток за периоди = Лихвен процент = Брой плащания

Използвайки горната формула за пример 1 по-горе, това е резултатът:

FVOединарна ануитетна стойност = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5-10-10] = $ 1000 × [5, 53] \ начало {подравнено} \ текст {FV} _ {\ текст {Обикновено ~ ануитет}} & = \ $ 1000 \ пъти \ оставено [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ дясно] \\ & = \ $ 1000 \ пъти [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ край {подравнен} FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [ 0.05 (1 + 0.05) 5-1] = $ 1000 х [5.53]

Изчисляване на настоящата стойност

Обърнете внимание, че разликата в един цент между $ 5 555, 64 и $ 5 555, 63 се дължи на грешка в закръглянето при първото изчисление. Всяка стойност на първото изчисление трябва да бъде закръглена до най-близката стотинка - колкото повече трябва да закръгляте числата в изчислението, толкова по-вероятни грешки при закръгляване ще възникнат. И така, горната формула не само осигурява пряк път до намирането на FV на обикновена рента, но и дава по-точен резултат.

Настоящата стойност на рентата е просто текущата стойност на целия доход, генериран от тази инвестиция в бъдеще. Това изчисление се основава на концепцията за стойността на парите във времето, която гласи, че един долар сега струва повече от долар, спечелен в бъдеще. Поради това настоящите изчисления на стойността използват броя на периодите от време, през които се генерира доход, за да се дисконтира стойността на бъдещите плащания.

Ако искате да определите днешната стойност на бъдеща серия от плащания, трябва да използвате формулата, която изчислява настоящата стойност (PV) на обикновена рента. Това е формулата, която бихте използвали като част от изчислението на цените на облигациите. PV на обикновена рента изчислява настоящата стойност на купонните плащания, които ще получите в бъдеще.

За пример 2 ще използваме същия график на анюитетния паричен поток, както направихме в пример 1. За да получим общата дисконтирана стойност, трябва да вземем настоящата стойност на всяко бъдещо плащане и, както направихме в пример 1, да добавим паричните потоци заедно.

Отново изчисляването и добавянето на всички тези стойности ще отнеме значително време, особено ако очакваме много бъдещи плащания. Въпреки че многобройните онлайн калкулатори могат да определят настоящата стойност на рентата, формулата за редовна анюитет не е прекалено сложна за изчисляване на ръка, ако използваме математически пряк път за PV на обикновена рента.

PVOнационална ануитетност = C × [1− (1 + i) −ni] \ текст {PV} _ {\ текст {Обикновено ~ ануитет}} = \ текст {C} \ пъти \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOмерна ануитетност = C × [i1− (1 + i) −n]

Формулата ни осигурява PV с няколко лесни стъпки. Ето изчислението на рентата, представена в диаграмата за пример 2:

PVOrdinary Annuity = $ 1000 × [1− (1 + 0.05) −50.05] = $ 1000 × [4.33] \ начало {подравнено} \ текст {PV} _ {\ текст {Обикновено ~ Ануитет}} & = \ $ 1000 \ пъти \ Големи [\ dfrac {1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ Големи] \\ & = \ $ 1000 \ пъти [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ край {подредени} PVOrdinary Annuity = $ 1000 х [0.051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 х [4.33]

Изчисляване на бъдещата стойност

Когато получавате или плащате парични потоци за дължима анюитет, графикът на вашите парични потоци ще се появи, както следва:

Тъй като всяко плащане в серията се извършва с един период по-рано, трябва да намалим формулата с един период назад. Лека промяна във формулата FV-of-a-обикновена анюитетна сметка отчита плащанията, възникващи в началото на всеки период. В пример 3, нека илюстрираме защо тази промяна е необходима, когато всяко плащане от 1000 долара се извършва в началото на периода, а не в края (лихвеният процент е все още 5%):

Забележете, че когато плащанията се извършват в началото на периода, всяка сума се задържа по-дълго в края на периода. Например, ако 1000 $ бяха инвестирани на 1 януари, а не на 31 декември всяка година, последното плащане преди да оценим нашата инвестиция в края на пет години (на 31 декември) щеше да бъде извършена година преди това (1 януари), а не същия ден, в който се оценява. След това бъдещата стойност на формулата за анюитет ще гласи:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ дясно] \ пъти (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Следователно,

FVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05 \ начало {подравнено} FV _ {\ текст {Ануитет дължимо}} & = \ $ 1000 \ пъти \ оставено [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ дясно] \ пъти (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times5.53 \ times1.05 \\ & = \ $ 5801.91 \ end { подравнен} FVAnnuity дължина = $ 1000 × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Ануитетна дължима

Изчисляване на настоящата стойност

За настоящата стойност на формула, дължима на анюитет, трябва да намалим формулата с един период напред, тъй като плащанията се провеждат за по-кратък период от време. При изчисляване на настоящата стойност приемаме, че първото плащане е извършено днес.

Бихме могли да използваме тази формула за изчисляване на настоящата стойност на бъдещите ви плащания за наем, както е посочено в договор за наем, който подписвате с вашия наемодател. Да речем, че сте направили първото си плащане под наем (вижте Пример 4, по-долу) в началото на месеца и оценявате сегашната стойност на петмесечния си лизинг в същия ден. Вашето изчисляване на настоящата стойност ще работи както следва:

Разбира се, можем да използваме пряк път с формула, за да изчислим настоящата стойност на дължимата рента:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ дясно] \ пъти (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Следователно,

PVAnnuity дължина = $ 1000 × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05 \ начало {подравнено} PV _ {\ текст {Ануитет дължим}} & = \ $ 1000 \ пъти \ наляво [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0, 05} \ дясно] \ пъти (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ край {подравнен} PVAnnuity дължина = $ 1000 × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 4, 33 × 1, 05

Спомнете си, че настоящата стойност на обикновен анюитет върна стойност от 4, 329.48 долара. Настоящата стойност на обикновен анюитет е по-малка от дължимата анюитет, тъй като колкото по-нататък ние дисконтираме бъдещо плащане, толкова по-ниска е настоящата му стойност - всяко плащане или паричен поток в обикновен анюитет настъпва един период по-нататък в бъдещето.

Времевата стойност на парите

Бъдещото изчисление на стойността се основава на концепцията за стойността на парите във времето. Това просто означава, че долар, спечелен днес, струва повече от долар, спечелен утре, защото средствата, които контролирате сега, могат да бъдат инвестирани и да печелите лихва с течение на времето. Следователно бъдещата стойност на рентата е по-голяма от сумата на всички ваши инвестиции, тъй като тези вноски с времето печелят лихва. Например бъдещата стойност от 1000 долара, инвестирана днес при 10% лихва, е 1100 долара една година от сега. Един единствен долар днес струва 1, 10 долара за година заради стойността на парите във времето.

Да предположим, че правите годишни плащания в размер на 5000 щатски долара към обичайната си рента за 15 години. Печели 9% лихва, засилва се годишно.

FV = 5000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = 5000 $ × 2.642 ÷ 0, 09 \ начало {подравнено} FV & = \ 5000 $ \ пъти \ {(((1 + 0, 09) ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \} \\ & = \ $ 5000 \ пъти \ {((1, 09 ^ {15}) - 1) \ div 0, 09 \ } \\ & = \ $ 5000 \ пъти 2.642 \ div 0, 09 \\ & = \ 5000 $ \ пъти \ $ 146 804, 58 \ край {подравнено} FV = $ 5000 × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = $ 5 000 х {((1, 0915) -1) ÷ 0.09} = $ 5000 х 2.642 ÷ 0.09

Без силата на лихвите за събиране на сметките, вашите серии от вноски от 5000 долара струват само 75 000 долара в края на 15 години. Вместо това, със сложна лихва, бъдещата стойност на вашия анюитет е почти два пъти по-висока от $ 146 804, 58.

За да изчислите бъдещата стойност на дължимата рента, просто умножете обикновената бъдеща стойност с 1+ i (лихвения процент). В горния пример бъдещата стойност на анюитет, дължима със същите параметри, е просто $ 146 804, 58 x (1 + 0, 09), или $ 160, 016.99.

Съображения за настоящата стойност

При изчисляване на настоящата стойност на анюитет е важно всички променливи да са последователни. Ако например анюитетът генерира годишни плащания, лихвеният процент трябва също да се изрази като годишен процент. Ако например анюитетът генерира месечни плащания, лихвеният процент трябва също да се изрази като месечен.

Да приемем, че анюитетът е с 10% лихва, която генерира годишни плащания в размер на 3000 долара за следващите 15 години. Настоящата стойност на тази рента е:

= $ 3000 х (((1- (1 + 0, 1) -15)) ÷ 0, 1) = 3000 $ х ((1-0, 239392) ÷ 0, 1) = 3000 $ х (0.760608 ÷ 0, 1) = 3000 $ х 7.60608 \ започне {съответствие } & = \ $ 3, 000 \ пъти (((1 - (1 + 0, 1) ^ {- 15})) \ div 0, 1) \\ & = \ $ 3000 \ пъти ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ 3000 $ \ пъти (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ $ 3000 \ пъти 7.60608 \\ & = \ $ 22 818 \ край {подравнено} = $ 3000 × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0.1) = 3000 $ х ((1-0, 239392) ÷ 0, 1) = 3000 $ х (0.760608 ÷ 0, 1) = 3000 $ х 7.60608

Настояща стойност на анюитет

Долния ред

Сега можете да видите как анюитетите влияят на начина, по който изчислявате настоящата и бъдещата стойност на всяка сума пари. Не забравяйте, че честотите на плащанията или броят на плащанията и времето, в което се извършват тези плащания (независимо дали в началото или в края на всеки период на плащане) са всички променливи, които трябва да вземете предвид при изчисленията си.

Когато планирате пенсиониране, е важно да имате добра представа колко доходи можете да разчитате на всяка година. Въпреки че може да бъде сравнително лесно да следите колко влагате в спонсорирани от работодатели пенсионни планове, индивидуални пенсионни сметки (ИРА) и анюитети, не винаги е толкова лесно да знаете колко ще получите. За щастие, когато става въпрос за анюитети с фиксирана лихва или планове, инвестирани в ценни книжа с фиксиран лихвен процент, има прост начин да изчислите колко пари можете да очаквате да имате на разположение след пенсиониране въз основа на това колко сте вложили в сметката през работните си години,