Оптимизирайте портфолиото си с помощта на нормално разпределение

Нормалното разпределение е разпределението на вероятността, което разпределя всичките си стойности по симетричен начин, като повечето от резултатите са разположени около средната стойност на вероятността.

Нормално (Bell Curve) разпределение

Наборите от данни (като височината на 100 човека, оценките, получени от 45 ученици в даден клас и т.н.) са склонни да имат много стойности в една и съща точка на данни или в същия диапазон. Това разпределение на точки от данни се нарича нормално разпределение или крива на звънеца.

Например в група от 100 индивида 10 може да е под 5 фута висок, 65 може да стои между 5 и 5, 5 фута, а 25 може да е над 5, 5 фута. Това разпределение, свързано с обхвата, може да бъде начертано, както следва:

По подобен начин точките от данни, начертани в графики за всеки даден набор от данни, могат да наподобяват различни видове разпределения. Три от най-разпространените са подравнени вляво, дясно подравнени и преместени разпределения:

Обърнете внимание на червената линия на тренда във всяка от тези графики. Това приблизително показва тенденцията на разпространение на данни. Първата, „LEFT Aligned Distribution“, показва, че по-голямата част от точките от данни попадат в долния диапазон. Във втората графика „ПРАВИЛЕНА АРИГИНАЛНА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ“ по-голямата част от данните попадат в по-горния край на диапазона, докато последната, „Jumbled Distribution“, представлява смесен набор от данни без ясна тенденция.

Има много случаи, при които разпределението на точките от данни има тенденция да е около централна стойност и тази графика показва перфектно нормално разпределение - еднакво балансирано от двете страни, като най-голям брой точки от данни са концентрирани в центъра.

Ето перфектен, нормално разпределен набор от данни:

Централната стойност тук е 50 (която има най-много точки от данни), а разпределението се стеснява равномерно към крайните крайни стойности от 0 и 100 (които имат най-малък брой точки от данни). Нормалното разпределение е симетрично около централната стойност с половината от стойностите от всяка страна.

Много примери от реалния живот отговарят на разпределението на кривата на звънеца:

• Хвърляйте честна монета много пъти (да речем 100 пъти или повече) и ще получите балансирано нормално разпределение на главите и опашките.
• Разточете двойка чисти зарове много пъти (да речем 100 пъти или повече) и резултатът ще бъде балансирано, нормално разпределение, съсредоточено около числото 7 и равномерно стесняващо се към крайни стойности от 2 и 12.
• Височината на индивидите в група със значителен размер и марки, получени от хора от даден клас, следват нормалните модели на разпространение.
• Във финансите промените в лога стойностите за валутните курсове, индексите на цените и цените на акциите се приема, че обикновено се разпределят.

Риск и връщане

Всяка инвестиция има два аспекта: риск и възвръщаемост. Инвеститорите търсят възможно най-ниския риск за възможно най-висока възвръщаемост. Нормалното разпределение количествено определя тези два аспекта чрез средната възвръщаемост и стандартното отклонение за риска. (За повече информация вижте "Анализ на средната вариация.")

Средна или очаквана стойност

Една средна промяна на цената на акцията може да бъде 1, 5% на дневна база, което означава, че средно тя се увеличава с 1, 5%. Тази средна стойност или очакваната стойност, обозначаваща възвръщаемост, може да се постигне чрез изчисляване на средната стойност на достатъчно голям набор от данни, съдържащ исторически дневни промени в цените на този запас. Колкото по-висока е средната стойност, толкова по-добре.

Стандартно отклонение

Стандартното отклонение показва сумата, с която стойностите се отклоняват средно от средната стойност. Колкото по-високо е стандартното отклонение, толкова по-рискова е инвестицията, тъй като води до по-голяма несигурност.

Ето графично представяне на същото:

Следователно, графичното представяне на нормалното разпределение чрез неговото средно и стандартно отклонение дава възможност за представяне както на възвръщаемостта, така и на риска в ясно определен диапазон.

Помага да знаем (и да бъдем сигурни със сигурност), че ако някой набор от данни следва нормалния модел на разпространение, средната му стойност ще ни позволи да знаем какво очакваме възвръщаемост, а стандартното му отклонение ще ни позволи да знаем, че около 68% от стойностите ще бъде в рамките на 1 стандартно отклонение, 95% в рамките на 2 стандартни отклонения и 99% от стойностите ще попаднат в рамките на 3 стандартни отклонения. Набор от данни, който има средно 1.5 и стандартно отклонение от 1, е много по-рисков от друг набор от данни, имащ средна стойност 1, 5 и стандартно отклонение от 0, 1.

Познаването на тези стойности за всеки избран актив (т.е. акции, облигации и фондове) ще направи инвеститора запознат с очакваната възвръщаемост и рискове.

Лесно е да приложите тази концепция и да представите риска и възвръщаемостта на една единствена акция, облигация или фонд. Но може ли това да се разшири до портфолио от множество активи ">

Хората започват да търгуват, като купуват единична акция или облигация или инвестират във взаимен фонд. Постепенно те са склонни да увеличават притежанията си и купуват множество акции, средства или други активи, като по този начин създават портфолио. В този инкрементален сценарий, хората изграждат своите портфейли без стратегия или много предвидливост. Професионалните управители на фондове, търговците и създателите на пазара следват систематичен метод за изграждане на портфолиото си, използвайки математически подход, наречен съвременна теория на портфейла (MPT), който се основава на концепцията за „нормално разпределение“.

Модерна теория за портфолио

Съвременната теория на портфейла (MPT) предлага систематичен математически подход, който има за цел да увеличи максималната очаквана възвръщаемост на портфейл за даден размер на портфейлен риск чрез избиране на пропорциите на различните активи. Алтернативно, той също така предлага да се сведе до минимум риск за дадено ниво на очаквана възвръщаемост.

За да се постигне тази цел, активите, които ще бъдат включени в портфейла, не трябва да се избират единствено въз основа на техните индивидуални заслуги, а вместо това как всеки актив ще се представи спрямо останалите активи в портфейла.

С две думи, MPT определя как най-добре да постигне диверсификация на портфейла за най-добри възможни резултати: максимална възвръщаемост за приемливо ниво на риск или минимален риск за желаното ниво на възвръщаемост.

Строителните блокове

MPT беше толкова революционна концепция, когато беше въведено, че изобретателите й спечелиха благородна награда. Тази теория успешно предостави математическа формула за насочване на диверсификацията при инвестиране.

Диверсификацията е техника за управление на риска, която премахва риска „всички яйца в една кошница“ чрез инвестиране в несвързани запаси, сектори или класове активи. В идеалния случай положителното представяне на един актив в портфейла ще анулира отрицателните резултати на други активи.

За да се вземе средната възвръщаемост на портфейла, който има n различни активи, се изчислява пропорционално претеглената комбинация от доходността на съставните активи.

Поради естеството на статистическите изчисления и нормалното разпределение, общата възвръщаемост на портфейла (R _p ) се изчислява като:

Rp = ΣwiRiR_p = \ сума {w_iR_i} Rp = Σwi Ri

Сумата (∑), където w _i е пропорционалното тегло на актива i в портфейла, R _i е възвръщаемостта (средната стойност) на актив i.

Рискът на портфейла (или стандартното отклонение) е функция на корелациите на включените активи за всички двойки активи (по отношение на всеки друг в двойката).

Поради естеството на статистическите изчисления и нормалното разпределение, общият портфейлен риск (Std-dev) _p се изчислява като:

(Std-dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] \ начало {подравнено} & \ наляво (Std-dev \ дясно) _p = \ \ & sqrt \ наляво [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ наляво (std-dev \ дясно) _i \ наляво (std-dev \ дясно) _j \ наляво (cor-cof_ {ij} \ дясно) \ дясно] \\ \ край {подравнен} (Std-dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)]

Тук, cor-cof е коефициентът на корелация между възвръщаемостта на активите i и j, а sqrt е квадратният корен.

Това се грижи за относителната ефективност на всеки актив по отношение на другия.

Въпреки че това изглежда математически сложно, простата концепция, приложена тук, включва не само стандартните отклонения на отделните активи, но и свързаните с тях отношения един към друг.

Тук можете да намерите добър пример от Университета на Вашингтон.

Бърз пример за MPT

Като мисловен експеримент, нека си представим, че сме портфейлен мениджър, който е получил капитал и е натоварен с това колко капитал трябва да бъде разпределен за два налични актива (A&B), така че очакваната възвръщаемост да бъде максимална и рискът да бъде намален.

Имаме и следните стойности:

Ra = 0, 175

Rb = 0.055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 151

(Std-dev) _ab = -0.004875

(Cor-cof) _ab = -0.164

Започвайки с равностойно разпределение на 50-50 на всеки актив A&B, R _p изчислява на 0.115 и (Std-dev) _p стига до 0.1323. Едно просто сравнение ни показва, че при този портфейл от 2 активи, възвръщаемостта и рискът са по средата между индивидуалните стойности на всеки актив.

Нашата цел обаче е да подобрим възвръщаемостта на портфейла над средната стойност на всеки отделен актив и да намалим риска, така че да е по-нисък от този на отделните активи.

Нека сега вземем позиция за разпределение на капитал от 1, 5 в актив A и -0, 5 позиция за разпределение на капитал в актив Б. (Отрицателното разпределение на капитала означава ограничаването на получения запас и капитал, използвани за закупуване на излишъка от другия актив с положително разпределение на капитала. В с други думи, ние ограничаваме запас B за 0, 5 пъти капитал и използваме тези пари за закупуване на акция A за сума 1, 5 пъти капитал.)

Използвайки тези стойности, получаваме R _p като 0.1604 и (Std-dev) _p като 0.4005.

По подобен начин можем да продължим да използваме различни тегла на разпределение за актив A&B и да стигнем до различни набори Rp и (Std-dev) p. Според желаната възвръщаемост (Rp), човек може да избере най-приемливото ниво на риск (std-dev) p. Алтернативно, за желаното ниво на риск, човек може да избере най-добрата налична възвръщаемост на портфейла. Така или иначе чрез този математически модел на теорията на портфейла е възможно да се постигне целта за създаване на ефективно портфолио с желаната комбинация от риск и възвръщаемост.

Използването на автоматизирани инструменти позволява лесно и безпроблемно да открие най-добрите възможни разпределени пропорции, без да има нужда от продължителни ръчни изчисления.

Ефективната граница, Моделът за ценообразуване на капиталовите активи (CAPM) и ценообразуването на активи чрез MPT също се развиват от същия нормален модел на разпределение и са разширение към MPT.

Предизвикателства пред MPT (и в основата на нормалното разпределение)

За съжаление, нито един математически модел не е перфектен и всеки има недостатъци и ограничения.

Основното предположение, че възвръщаемостта на цените на акциите следва нормалното разпределение, се поставя под въпрос отново и отново. Има достатъчно емпирично доказателство за случаи, в които стойностите не успяват да се придържат към предполагаемото нормално разпределение. Поставянето на сложни модели на такива предположения може да доведе до резултати с големи отклонения.

Постигайки по-нататък MPT, изчисленията и предположенията за коефициента на корелация и ковариацията, оставащи фиксирани (въз основа на исторически данни), не е задължително да важат за бъдещи очаквани стойности. Например облигационните и фондовите пазари показаха перфектна корелация на пазара на Обединеното кралство от периода 2001 до 2004 г., където възвръщаемостта от двата актива спадаше едновременно. В действителност обратното се наблюдава през дълги исторически периоди преди 2001 г.

Поведението на инвеститорите не се взема предвид в този математически модел. Данъците и транзакционните разходи са пренебрегвани, въпреки че се предполага частично разпределение на капитала и възможността за съкращаване на активите.

В действителност, нито едно от тези предположения не може да бъде вярно, което означава, че реализираната финансова възвръщаемост може да се различава значително от очакваната печалба.

Долния ред

Математическите модели осигуряват добър механизъм за количествено определяне на някои променливи с единични проследими числа. Но поради ограниченията на предположенията, моделите може да се провалят.

Нормалното разпределение, което е в основата на теорията на портфейла, не е задължително да се прилага за акции и други модели на цените на финансовите активи. Теорията на портфейла сама по себе си има много предположения, които трябва да бъдат разгледани критично, преди да вземете важни финансови решения.