Разбиране на модела за ценообразуване на бином

Да се ​​договорим за точното ценообразуване на всеки търгуем актив е предизвикателно - затова цените на акциите постоянно се променят. В действителност компаниите почти не променят своите оценки ежедневно, но цените на акциите и оценките се променят почти всяка секунда. Тази трудност при постигане на консенсус относно правилното ценообразуване на всеки търгуем актив води до краткотрайни арбитражни възможности.

Но много успешни инвестиции се свеждат до един прост въпрос за днешната оценка - каква е днешната правилна цена за очакваното бъдещо изплащане?

Оценка на биноминални опции

На конкурентен пазар, за да се избегнат арбитражни възможности, активите с идентична структура на изплащане трябва да имат една и съща цена. Оценката на опциите се оказа трудна задача и вариациите в цените водят до арбитражни възможности. Black-Scholes остава един от най-популярните модели, използвани за ценови опции, но има ограничения.

Моделът на ценообразуване с биномиален вариант е друг популярен метод, използван за опциите за ценообразуване.

Примери

Да предположим, че има опция за обаждане за определен акция с текуща пазарна цена от 100 долара. Опцията срещу пари (ATM) има стачка цена от 100 долара с изтичане на една година. Има двама търговци, Питър и Паула, които и двамата са съгласни, че цената на акциите или ще нарасне до 110 долара, или ще падне до 90 долара за една година.

Те са съгласни с очакваните нива на цените в дадена времева рамка от една година, но не са съгласни с вероятността от движение нагоре или надолу. Петър смята, че вероятността цената на акцията да достигне 110 долара е 60%, докато Паула смята, че е 40%.

Въз основа на това кой би бил готов да плати повече цена за опцията за обаждане? Вероятно Петър, тъй като той очаква голяма вероятност за движение нагоре.

Изчисления на биноминални опции

Двата актива, от които зависи оценката, са опцията за повикване и основният акции. Между участниците има споразумение, че основната цена на акциите може да се движи от текущите 100 до 110 или 90 долара за една година и няма други възможни движения на цените.

В свят, свободен от арбитраж, ако трябва да създадете портфолио, състоящо се от тези два актива, опция за разговори и базови акции, така че независимо от това къде отива основната цена - $ 110 или $ 90 - нетната възвръщаемост на портфейла винаги остава същата, Да предположим, че купувате „d“ акции от основните и кратки опции за едно обаждане, за да създадете това портфолио.

Ако цената отиде до $ 110, вашите акции ще струват $ 110 * d, а вие ще загубите $ 10 при изплащане на краткото обаждане. Нетната стойност на вашето портфолио ще бъде (110d - 10).

Ако цената падне до $ 90, вашите акции ще струват $ 90 * d, а опцията ще изтече безполезно. Нетната стойност на вашия портфейл ще бъде (90d).

Ако искате стойността на портфейла ви да остане същата, независимо от това къде отива основната цена на акциите, стойността на портфейла ви трябва да остане същата и в двата случая:

h (d) −m = l (d), където: h = най-висок потенциал в основата на цената = брой на базисните акцииm = парите, загубени при изплащане при краткосрочно обаждане = най-ниската потенциална базова цена \ започнете {приведено в съответствие) & h (d) - m = l (г) \\ & \ textbf {където:} \\ & h = \ текст {Най-високата потенциална базова цена} \\ & d = \ текст {Брой на базовите акции} \\ & m = \ текст {Пари загубени при изплащане на кратко повикване} \\ & l = \ текст {Най-ниска потенциална базова цена} \\ \ край {подравнен} h (d) −m = l (d), където: h = Най-висок потенциал на базата на цената = Брой базови акцииm = Пари, загубени при кратък разговор payoffl = Най-ниската потенциална базисна цена

Така че, ако закупите половин дял, ако приемете, че са възможни частични покупки, ще успеете да създадете портфолио, така че стойността му да остане същата в двете възможни състояния в рамките на даден период от една година.

110d − 10 = 90dd = 12 \ начало {подравнено} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ край {подравнено} 110d − 10 = 90dd = 21

Тази стойност на портфейла, обозначена с (90d) или (110d - 10) = 45, е една година надолу. За да се изчисли сегашната му стойност, тя може да бъде дисконтирана от безрисковата норма на възвръщаемост (при условие, че е 5%).

Настояща стойност = 90d × e (−5% × 1 година) = 45 × 0.9523 = 42.85 \ начало {подравнено} \ текст {настояща стойност} & = 90d \ пъти e ^ {(-5 \% \ пъти 1 \ текст {Година})} \\ & = 45 \ пъти 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ край {подравнен} Настояща стойност = 90d × e (−5% × 1 година) = 45 × 0.9523 = 42.85

Тъй като в момента портфейлът се състои от ½ дял от основния акции (с пазарна цена от $ 100) и един кратък разговор, той трябва да бъде равен на настоящата стойност.

12 × 100−1 × Цена на обаждане = 42, 85 $Цена на повикване = 7, 14 $, т.е. цената на разговора от днес \ започне {подравнено} & \ frac {1} {2} \ пъти 100 - 1 \ пъти \ текст {Цена на повикване} = \ $ 42, 85 \\ & \ текст {Цена на повикване} = \ 7, 14 $ \ текст {, т.е. цената на разговора от днес} \\ \ край {подравнен} 21 × 100−1 × Цена на повикване = $ 42.85Цена на повикване = $ 7.14, т.е. цената на разговора от днес

Тъй като това се основава на предположението, че стойността на портфейла остава същата, независимо от това по кой път върви основната цена, вероятността за движение нагоре или надолу не играе никаква роля. Портфолиото остава безрисково, независимо от основните движения на цените.

И в двата случая (предполага се, че нагоре се движи до $ 110 и надолу към $ 90), вашето портфолио е неутрално спрямо риска и печели безрискова норма на възвръщаемост.

Следователно и двамата търговци, Питър и Паула, биха били готови да платят същите 7, 14 долара за тази опция за разговори, въпреки различното им схващане за вероятността от повишаване на движението (60% и 40%). Техните индивидуално възприемани вероятности нямат значение при оценката на опциите.

Ако предположим, че индивидуалните вероятности имат значение, възможностите за арбитраж може би са се представили. В реалния свят такива възможности за арбитраж съществуват с малки разлики в цените и изчезват в краткосрочен план.

Но къде е силно завишената нестабилност при всички тези изчисления, важен и чувствителен фактор, който влияе върху ценообразуването на опциите?

Нестабилността вече е включена от естеството на дефиницията на проблема. Ако приемем две (и само две - оттук и името „биномиални“) състояния на ценови нива (110 долара и 90 долара), променливостта е имплицитна в това предположение и се включва автоматично (10% от всеки случай в този пример).

Black-Scholes

Но дали този подход е правилен и съгласуван ли е с често използваните цени на Black-Scholes? Резултатите от калкулатора на опции (с любезност на OIC) плътно съвпадат с изчислената стойност:

За съжаление, реалният свят не е толкова прост, колкото "само две държави". Запасът може да достигне няколко ценови нива преди да изтече времето.

Възможно ли е да се включат всички тези множество нива в биномиален модел на ценообразуване, който е ограничен само до две нива ">

Проста математика

За да обобщите този проблем и решение:

"X" е текущата пазарна цена на акция, а "X * u" и "X * d" са бъдещите цени за движение нагоре и надолу "t" години по-късно. Фактор "u" ще бъде по-голям от един, тъй като показва движение нагоре и "d" ще лежи между нула и единица. За горния пример, u = 1.1 и d = 0.9.

Изплащанията на опцията за повикване са "P _up " и "P _dn " за движения нагоре и надолу в момента на изтичане.

Ако създадете портфолио от „s“ акции, закупени днес и кратък вариант за едно обаждане, след време „t“:

VUM = s × X × u −Pupwhere: VUM = Стойност на портфейла в случай на преместване нагоре \ започнете {подравнено} & \ текст {VUM} = s \ пъти X \ пъти u - P_ \ текст {нагоре} \\ & \ textbf {където:} \\ & \ текст {VUM} = \ текст {Стойност на портфейла в случай на преместване нагоре} \\ \ край {подравнен} VUM = s × X × u − Pup където: VUM = Стойност на портфейла в случай на движение нагоре

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Стойност на портфейла в случай на движение надолу \ започнем {подравнено} & \ text {VDM} = s \ пъти X \ пъти d - P_ \ текст {надолу} \\ & \ textbf {където:} \\ & \ текст {VDM} = \ текст {Стойност на портфейла в случай на движение надолу} \\ \ край {подравнен} VDM = s × X × d − Pdown където: VDM = Стойност на портфейла при движение надолу

За подобна оценка и в двата случая на движение на цената:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ пъти X \ пъти u - P_ \ текст {нагоре} = s \ пъти X \ пъти d - P_ \ текст {надолу} s × X × u− кученце = S х X х г-Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Броят акции, които да закупите за = безрисково портфолио \ започнете {подравнено} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ текст {надолу} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Броят на акциите, които трябва да се закупят за} \\ & \ phantom {=} \ текст {безрисков портфейл} \\ \ край {подравнен} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Броят на акциите за закупуване за = безрисков портфейл

Бъдещата стойност на портфейла в края на "t" години ще бъде:

В случай на преместване нагоре = s × X × u-Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ започнете {подравнен} \ текст {В случай на движение нагоре} & = s \ пъти X \ пъти u - P_ \ текст {нагоре} \\ & = \ frac {P_ \ текст {нагоре} - P_ \ текст {надолу}} {u - d} \ пъти u - P_ \ текст {нагоре} \\ \ край {подравнен} В случай на Преместване нагоре = s × X × u up Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

В случай на движение надолу = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ начало {подравнено} \ текст {В случай на движение надолу} & = s \ пъти X \ пъти d - P_ \ текст {долу} \\ & = \ frac {P_ \ текст {нагоре} - P_ \ текст {надолу}} {u - d} \ пъти d - P_ \ текст {надолу} \\ \ край {подравнен} В случай на Преместване надолу = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Днешната стойност може да бъде получена, ако я намалите с безрисковата норма на възвръщаемост:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup], където: PV = Дневен оценител = Коефициент на възвръщаемост = Време, в години \ начало {подравнено} & \ текст {PV} = e (-rt) \ пъти \ наляво [\ frac {P_ \ текст {нагоре} - P_ \ текст {надолу}} {u - d} \ пъти u - P_ \ текст {нагоре} \ вдясно] \\ & \ textbf { където:} \\ & \ текст {PV} = \ текст {дневна стойност} \\ & r = \ текст {норма на възвръщаемост} \\ & t = \ текст {Време, в години} \\ \ край {подравнен} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup], където: PV = Оценка на днешния ден = Степен на връщане = Време, в години

Това трябва да съответства на портфолиото, притежавано от акции "s" на цена X, а стойността на краткото извикване "c" (днешното държане на (s * X - c) трябва да се равнява на това изчисление.) Решаването на "c" накрая дава като:

Забележка: Ако премията за обаждане е къса, тя трябва да е допълнение към портфолиото, а не изваждане.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ пъти [(e (-rt) - d) \ пъти P_ \ текст {up} + (u - e (-rt)) \ пъти P_ \ текст {надолу]] c = u − de (−rt) х [(д (-rt) -d) х кучето + (ф-д (-rt)) х Pdown]

Друг начин да напишете уравнението е като го пренаредите:

Като "q" като:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (rt) −d

Тогава уравнението става:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ пъти (q \ пъти P_ \ текст {up} + (1 - q) \ пъти P_ \ текст {надолу}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Пренареждането на уравнението по отношение на "q" предлага нова перспектива.

Сега можете да интерпретирате "q" като вероятността за преместване нагоре на основата (тъй като "q" е свързан с P _{нагоре,} а "1-q" е свързан с P _dn ). Като цяло уравнението представлява дневната цена на опцията, дисконтираната стойност на изплащането му след изтичане.

Това "Q" е различно

Как тази вероятност "q" се различава от вероятността за движение нагоре или надолу на долния ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × навсякъде: VSP = Стойност на цената на запасите в момент t \ начало {подравнено} & \ текст {VSP} = q \ пъти X \ пъти u + (1 - q) \ пъти X \ пъти d \\ & \ textbf {където:} \\ & \ текст {VSP} = \ текст {Стойност на цената на запасите по време} t \\ \ край {подравнен} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × навсякъде: VSP = Стойност на цената на акциите във време t

Замествайки стойността на "q" и пренареждайки, цената на акциите във времето "t" стига до:

Цена на акциите = e (rt) × X \ начало {подравнено} & \ текст {цена на акциите} = e (rt) \ пъти X \\ \ край {подравнено} Цена на запаса = e (rt) × X

В този предполагаем свят на две държави цената на акциите просто нараства с безрисковата норма на възвръщаемост, точно като безрисков актив и следователно остава независима от всеки риск. Инвеститорите са безразлични към риска по този модел, така че това представлява рисково неутрален модел.

Вероятността "q" и "(1-q)" са известни като рискови неутрални вероятности, а методът за оценка е известен като риск-неутрален модел за оценка.

Примерният сценарий има едно важно изискване - бъдещата структура на изплащане се изисква с точност (ниво $ 110 и $ 90). В реалния живот такава яснота относно стъпковите нива на цените не е възможна; по-скоро цената се движи на случаен принцип и може да се установи на няколко нива.

За да разширим примера по-нататък, приемете, че са възможни нива на цените в две стъпки. Ние знаем окончателните изплащания на втората стъпка и днес трябва да оценим опцията (в началната стъпка):

Работейки назад, междинната оценка на първа стъпка (при t = 1) може да се извърши с помощта на окончателни изплащания на стъпка втора (t = 2), след което се използват тези изчислени оценки на първа стъпка (t = 1), днешната оценка (t = 0) може да се достигне с тези изчисления.

За да получите опционно ценообразуване на номер две, се използват изплащания при четири и пет. За да получите цени за номер три, се използват изплащания на пет и шест. И накрая, изчислените изплащания при две и три се използват за получаване на цени при номер едно.

Моля, обърнете внимание, че този пример приема един и същ фактор за движения нагоре (и надолу) в двете стъпки - u и d се прилагат сложно.

Работен пример

Да предположим, че опцията за пут с стачка цена от $ 110 в момента се търгува на $ 100 и изтича след една година. Годишната безрискова ставка е 5%. Очаква се цената да се увеличи с 20% и да намалее с 15% на всеки шест месеца.

Тук u = 1, 2 и d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

използвайки горната производна формула на

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (rt) −d

получаваме q = 0, 35802832

стойност на пут опция в точка 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn), където: p = Цена на опцията за пускане \ започва {подравнено} & p_2 = e (-rt) \ пъти (p \ пъти P_ \ текст {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {където:} \\ & p = \ текст {Цена на опцията за пускане} \\ \ край {подравнен} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn), където: p = Цена на опцията за пут

При условие за P _upup, основните ще бъдат = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144, което води до P _upup = нула

При условие P _updn, базовите ще бъдат = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102, водещи до P _updn = $ 8

При условие P _dndn, _базата ще бъде = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25, което води до P _dndn = $ 37.75

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

По същия начин, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ пъти (q \ пъти p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) х (р х р2 + (1-р) p3)

И следователно стойността на опцията пут, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29.

По подобен начин биномиалните модели ви позволяват да прекъснете продължителността на цялата опция, за да усъвършенствате няколко стъпки и нива. Използвайки компютърни програми или електронни таблици, можете да работите назад по стъпка назад, за да получите настоящата стойност на желаната опция.

Друг пример

Да приемем опция за пускане от европейски тип с изтичане на девет месеца, стачка цена от 12 долара и текуща базисна цена от 10 долара. Поемете безрискова ставка от 5% за всички периоди. Да приемем, че на всеки три месеца основната цена може да се движи с 20% нагоре или надолу, което ни дава u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 и триетапно биномиално дърво.

Червеното показва основните цени, а синьото - изплащане на пуснатите опции.

Риск-неутрална вероятност "q" се изчислява на 0, 531446.

Използвайки горната стойност на "q" и стойности на изплащане при t = девет месеца, съответните стойности при t = шест месеца се изчисляват като:

Освен това, използвайки тези изчислени стойности при t = 6, стойностите при t = 3 и при t = 0 са:

Това дава днешната стойност на пут опцията като $ 2.18, което е доста близко до това, което бихте намерили да правите изчисленията, използвайки модела на Black-Scholes ($ 2, 30).

Долния ред

Въпреки че използването на компютърни програми може лесно да направи тези интензивни изчисления, прогнозирането на бъдещите цени остава основно ограничение на биномиалните модели за ценообразуване на опции. Колкото по-фини са интервалите от време, толкова по-трудно е да се предвиди изплащанията в края на всеки период с висока точност.

Гъвкавостта за включване на промените, очаквани през различни периоди, е плюс, което го прави подходящ за ценообразуване на американски опции, включително оценки за ранно упражняване.

Стойностите, изчислени с помощта на биномиален модел, съвпадат точно с тези, изчислени от други често използвани модели като Black-Scholes, което показва полезността и точността на биномиалните модели за ценообразуване на опции. Моделите на биномиално ценообразуване могат да бъдат разработени според предпочитанията на търговеца и могат да работят като алтернатива на Black-Scholes.