Непрекъснат сложен интерес

Сложната лихва е лихва, изчислена върху първоначалната главница, а също и върху натрупаната лихва от предходни периоди на депозит или заем. Ефектът от сложния интерес зависи от честотата.

Да приемем годишна лихва от 12%. Ако започнем годината със 100 долара и сложни само веднъж, в края на годината главницата нараства до 112 долара (100 щ.д. х 1, 12 = 112 долара). Ако вместо това всеки месец се събираме на 1%, в края на годината получаваме повече от 112 долара. Тоест, $ 100 x 1, 01 ^ 12 при $ 112, 68. (По-високо е, защото сме се комбинирали по-често.)

Непрекъснато сложно връща съединение най-често от всички. Непрекъснатото комбиниране е математическата граница, до която може да се стигне интересът. Това е краен случай на събиране, тъй като повечето лихви се събират на месечна, тримесечна или полугодишна база.

Полугодишни норми на възвръщаемост

Първо, нека да разгледаме потенциално объркващата конвенция. На пазара на облигации имаме предвид доходността на облигационния еквивалент (или облигационната равностойност). Това означава, че ако облигацията донесе 6% на полугодие, нейната облигационна доходност е 12%.

Фигура 1

Полугодишната доходност просто се удвоява. Това е потенциално объркващо, тъй като ефективният добив на 12% облигационна еквивалентна връзка е 12.36% (т.е. 1.06 ^ 2 = 1.1236). Удвояването на полугодишната доходност е просто конвенция за именуване на облигации. Следователно, ако четем за 8% облигация, съставена полугодишно, приемаме, че това се отнася до 4% полугодишна доходност.

Тримесечни, месечни и дневни норми на възвръщаемост

Сега, нека да обсъдим по-високи честоти. Все още приемаме 12% годишен пазарен лихвен процент. Според конвенциите за именуване на облигации, това означава 6% полугодишна лихва. Вече можем да изразим тримесечната сложна лихва като функция от пазарния лихвен процент.

Фигура 2

Като се има предвид годишен пазарен курс ( r), тримесечната съставна ставка ( r _q ) се дава от:

Така че, за нашия пример, когато годишният пазарен процент е 12%, тримесечната комбинирана ставка е 11, 825%:

Фигура 3

Подобна логика важи за месечните състави. Месечният сложен процент ( r _m ) е даден тук като функция на годишния пазарен лихвен процент ( r):

Дневната сложна лихва ( d) като функция от пазарния лихвен процент ( r) се определя от:

Как работи непрекъснатото сглобяване

Фигура 4

Ако увеличим честотата на съединението до нейната граница, се смесваме непрекъснато. Въпреки че това може да не е практично, непрекъснато комбинираната лихва предлага невероятно удобни свойства. Оказва се, че непрекъснато комбинираният лихвен процент се дава от:

Ln () е естественият лог и в нашия пример непрекъснато комбинираната скорост е:

Стигаме до същото място, като вземаме естествения лог на това съотношение: крайната стойност, разделена на началната стойност.

Последното е често срещано, когато се изчислява непрекъснато сложен доход за запас. Например, ако акцията скочи от $ 10 един ден до $ 11 на следващия ден, непрекъснато усложнената дневна възвръщаемост се дава от:

Какво е толкова страхотно в непрекъснато комбинираната скорост (или връщане), че ще обозначим с r _c ">

Обърнете внимание, че e е експоненциалната функция. Например, ако започнем със 100 долара и непрекъснато се събираме на 8% за три години, крайното богатство се дава от:

Дисконтирането до настоящата стойност (PV) е просто смесване в обратен ред, така че настоящата стойност на бъдеща стойност (F), непрекъснато съчетана със скорост ( r _c ), се дава от:

Например, ако ще получите $ 100 за три години при 6% непрекъснат курс, сегашната му стойност се дава от:

Мащабиране през множество периоди

Удобното свойство на непрекъснато комбинираната възвръщаемост е, че тя мащабира през много периоди. Ако възвръщаемостта за първия период е 4%, а възвръщаемостта за втория период е 3%, тогава възвръщаемостта за два периода е 7%. Помислете, че започваме годината със 100 долара, което нараства до 120 долара в края на първата година, след това 150 долара в края на втората година. Непрекъснато комбинираната възвръщаемост е съответно 18.23% и 22.31%.

Ако просто ги добавим заедно, получаваме 40, 55%. Това е връщането за два периода:

Технически погледнато, непрекъснатото връщане е последователно във времето. Постоянството на времето е техническо изискване за рискова стойност (VAR). Това означава, че ако еднопериодното връщане е нормално разпределена произволна променлива, ние искаме също така да бъдат нормално разпределени многоперпериодни случайни променливи. Освен това многократният непрекъснато съставен възвръщаемост обикновено се разпределя (за разлика от, да речем, проста процентна възвръщаемост).

Долния ред

Можем да преформулираме годишните лихви в полугодишни, тримесечни, месечни или дневни лихвени проценти (или проценти на възвръщаемост). Най-честото смесване е непрекъснатото смесване, което изисква от нас да използваме естествен лог и експоненциална функция, която обикновено се използва във финансите поради желаните му свойства - той се мащабира лесно през много периоди и е последователен във времето.