Определение на теоремата на Байес
Теоремата на Байес, кръстена на британския математик от 18 век Томас Байес, е математическа формула за определяне на условната вероятност. Теоремата предоставя начин за преразглеждане на съществуващите прогнози или теории (вероятности за актуализиране), като се предоставят нови или допълнителни доказателства. Във финансите теоремата на Байес може да се използва за оценка на риска от заемане на пари на потенциални кредитополучатели.
Теоремата на Байес се нарича още правило на Байес или закон на Байес и е в основата на областта на Байесовата статистика.
Ключови заведения
- Теоремата на Bayes ви позволява да актуализирате прогнозираните вероятности за събитие чрез включване на нова информация.
- Теоремата на Байес е кръстена на математика от 18 век Томас Байес.
- Често се използва във финансите при актуализиране на оценката на риска.
Формулата за теоремата на Байес е
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) където: P (A) = вероятността от възникване на A (B) = Вероятността B да възникнеP (A∣B) = Вероятността за A даден BP (B∣A) = Вероятността B даден AP (A⋂B)) = Вероятността за настъпване на A и B \ започнем> подравнени} & P \ ляво (A | B \ дясно) = \ Frac {P \ наляво (A \ bigcap {B} \ дясно)} {P \ наляво (B \ дясно)} = \ Frac {P \ наляво (A \ дясно) \ cdotP \ наляво (B} {P \ вляво (B \ вдясно)} \\ & \ textbf {където:} \\ & P \ вляво (A \ вдясно) = \ текст {Вероятността за възникване на}} \\ & P \ вляво (B \ вдясно) = \ текст {Вероятността за възникване на B} \\ & P \ вляво (A | B \ вдясно) = \ текст {Вероятността на даден B} \\ & P \ вляво (B | A \ вдясно) = \ text {Вероятността B дадена A} \\ & P \ вляво (A \ bigcap {B} \ вдясно)) = \ текст {Вероятността за възникване на A и B} \\ \ край {подравнен} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A), където: P (A) = вероятността от възникване на A (B) = вероятност от възникване на B (A∣B) = вероятността от даден BP (B∣A) = вероятността от B даден AP (A⋂B)) = вероятността за възникване на A и B
Изяснена теорема на Байес
Приложенията на теоремата са широко разпространени и не се ограничават до финансовата сфера. Като пример, теоремата на Байес може да се използва за определяне на точността на резултатите от медицински тестове, като се вземе предвид колко вероятно е дадено лице да има заболяване и общата точност на теста. Теоремата на Байес разчита на включване на предварителни разпределения на вероятността, за да се генерират задни вероятности. При Байесов статистически изход преди това е вероятността за събитие преди събирането на нови данни. Това е най-добрата рационална оценка на вероятността от резултат въз основа на текущите знания преди провеждането на експеримент. Задната вероятност е преразгледаната вероятност на събитие, настъпило след отчитане на нова информация. Задната вероятност се изчислява чрез актуализиране на предварителната вероятност с помощта на теоремата на Байес. В статистически план задната вероятност е вероятността от настъпване на събитие А, като се има предвид, че е настъпило събитие Б.
Следователно теоремата на Байес дава вероятността за събитие въз основа на нова информация, която е или може да бъде свързана с това събитие. Формулата може да се използва и за да видите как вероятността за възникване на събитие е повлияна от хипотетична нова информация, ако предположим, че новата информация ще се окаже вярна. Например, да кажем, че една карта е изтеглена от цяла тесте от 52 карти. Вероятността картата да е крал е 4, разделена на 52, което е равно на 1/13 или приблизително 7, 69%. Не забравяйте, че в палубата има 4 царе. Нека предположим, че е разкрито, че избраната карта е лицева карта. Вероятността избраната карта да е крал, като се има предвид, че това е лицева карта, е 4 разделена на 12, или приблизително 33.3%, тъй като в тесте има 12 лицеви карти.
Извличане на формула на теорема на Байес с пример
Теоремата на Байес следва просто от аксиомите на условната вероятност. Условната вероятност е вероятността от събитие, като се има предвид, че се е случило друго събитие. Например, един прост въпрос с вероятността може да зададе: „Каква е вероятността от падане на цената на акциите на Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN)?“ Условната вероятност прави този въпрос стъпка по-нататък, като пита: "Каква е вероятността падането на цената на акциите AMZN, като се има предвид, че индексът Dow Jones Industrial Average (DJIA) падна по-рано?"
Условната вероятност на A като се има предвид, че B се е случило, може да се изрази като:
Ако A е: "AMZN цената пада", тогава P (AMZN) е вероятността AMZN да падне; и B е: "DJIA вече е свален", а P (DJIA) е вероятността DJIA да падне; тогава изразът на условната вероятност се чете като "вероятността AMZN да падне при спад на DJIA е равна на вероятността AMZN цената да спадне, а DJIA намалява над вероятността от намаляване на индекса DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN и DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN и DJIA) е вероятността за възникване на А и В. Това също е същото като вероятността за възникване на A, умножена по вероятността B да се появи, като се появят А, изразени като P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Фактът, че тези два израза са равни, води до теоремата на Байес, която се записва като:
ако P (AMZN и DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
тогава P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Където P (AMZN) и P (DJIA) са вероятностите за падане на Amazon и Dow Jones, без да се вземат предвид един към друг.
Формулата обяснява връзката между вероятността на хипотезата преди да се видят доказателствата, че P (AMZN), и вероятността от хипотезата след получаване на доказателствата P (AMZN | DJIA), като се даде хипотеза за Amazon, дадени доказателства в Dow.
Числен пример за теоремата на Байес
Като числов пример, представете си, че има тест за наркотици, който е с 98% точност, което означава 98% от времето, когато показва истински положителен резултат за някой, който употребява наркотика, и 98% от случаите показва истински отрицателен резултат за ненузите на лекарство. На следващо място, приемете, че 0, 5% от хората използват наркотика. Ако човек е избран при случайни тестове, положителни за лекарството, може да се направи следното изчисление, за да се види дали вероятността човекът всъщност е потребител на лекарството.
(0, 98 х 0, 005) / [(0, 98 х 0, 005) + ((1 - 0, 98) х (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Теоремата на Байес показва, че дори ако човек е тестван положителен в този сценарий, всъщност е много по-вероятно човекът да не е употребявал наркотика.
Сравнете инвестиционни сметки Име на доставчика Описание Разкриване на рекламодатели × Офертите, които се появяват в тази таблица, са от партньорства, от които Investopedia получава компенсация.